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Court plaidoyer en faveur de l’utilité de la topologie

Le prix Nobel de physique 2016 (voir lien vers le site « Nobelprize.org ») a récompensé des recherches dont le contenu reste incompréhensible à une grande majorité de nos contemporains. Autant celui de 2015 pouvait faire rêver (les neutrinos ont une masse), autant celui de 2016 aura du mal à faire vibrer les esprits, même les plus curieux.

 

Ce constat n’est pas une critique déguisée de ce type de récompense. Il ne vise ni le choix du comité, ni le public. Il justifie seulement que les spécialistes fassent un tout petit effort pour faire comprendre l’originalité et l’intérêt de leurs recherches.

 

Un membre du comité exhibant le bretzel de son petit déjeuner pour initier aux rudiments de la topologie (lien externe Wikipédia = +), des algèbres topologiques et des invariants topologiques signe une volonté louable de sa part à vouloir vulgariser un peu la thématique récompensée.

 

Cette exhibition ne nous permet malheureusement pas d’aller bien loin et n’inspire pas directement l’intérêt pour la topologie. Peut-être, tout au plus, a-t-elle donné l’envie de partager un petit déjeuner avec cet éminent scientifique autour d’une tasse à une anse remplie de café ou de thé.

 

Elle aura au moins fait ressortir une information :  la tasse à une anse fait partie de l’ensemble des objets à un trou. Vous me suivez ?

 

En réalité l’algèbre topologique n’est là que comme outil et ne constitue que le premier étage des difficultés techniques à affronter pour comprendre les travaux développés par les gagnants de la promotion 2016.

 

Le cœur du sujet concerne en réalité l’étude des matériaux ayant cette curieuse mais fascinante propriété de ne conduire l’électricité qu’à leur surface mais jamais en leur intérieur ; ce sont les fameux isolants topologiques+. Isolants topologiques parce qu’une partie de leur forme est isolée des effets électromagnétiques.

 

Typiquement, et c’est ce qu’explore par exemple un des lauréats dans une de ces notes préfiguratrices, le but est de comprendre le comportement des réseaux de conduction circonscrivant des zones isolantes. C’est la raison pour laquelle ces recherches exigent de bien connaitre les réseaux dits de Bloch (et les ondes de Bloch+). Je profite de cette remarque pour vous rappeler que j’ai appliqué la méthode de décomposition intrinsèque des produits vectoriels déformés à l’équation décrivant l’énergie de ces électrons ; le propos est à découvrir sur ce site.

 

Ces zones conductrices peuvent être considérées comme des zones guidant le transport électronique de manière privilégiée. Les électrons, c’est bien connu depuis les travaux initiateurs de la mécanique quantique, ont une fâcheuse tendance à former des nuages au lieu de décrire des trajectoires courbes ou rectilignes bien définies. Il faut donc disposer d’outils mathématiques capables de rendre compte de ce comportement.

 

Il se trouve que les travaux d’E. Cartan+ sur les métriques construites à partir de l’étude de l’évolution des surfaces (1933) trouvent une application pratiquement toute faite et sur mesure, à l’échelle atomique, au sein des travaux d’avant-garde qui ont été récompensés en 2016!

 

Ainsi, je ne sais pas si mon propos aura un peu contribué à augmenter votre compréhension sur le sujet, mais je pense qu’il aura participé à vous faire comprendre (i) mon intérêt pour les travaux théoriques réalisés par ce mathématicien français mal connu et (ii) en quoi ceux que je mène ne sont pas si éloignés des préoccupations des équipes scientifiques d’aujourd’hui, au moins en ce qui concerne la démarche et l’esprit.

 

La pratique des mathématiques au niveau exigé par cette discipline (la topologie) ne peut s’astreindre de l’apprentissage des éléments de base indispensables. Je vous propose de commencer ce parcours avec une étude simple et généraliste sur les C*algèbres.

 

© Thierry PERIAT, texte paru initialement le 7 octobre 2016 et relooké le 7 mars 2019.