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Tous les chemins de la relativité

 

On a coutume de dire que tous les chemins mènent à Rome. C’est une façon figurée d’illustrer le fait qu’il n’y a pas qu’une unique manière d’atteindre les objectifs qu’on s’est fixé. L’adage vaut aussi pour la physique théorique. Prenons un exemple : celui de la théorie de la relativité.

 

La notion d’invariant

Il faut rappeler que la théorie des invariants+ a vraiment acquis ses lettres de noblesse (son importance) à la suite de l’expérience de Morley et Michelson+. L’absence de mouvement relatif par rapport à un éther dont l’existence était présupposée (à la fin du dix-neuvième siècle) a fortement suggéré l’idée que les observateurs opérant dans les repères inertiels+ (in extenso : tels que la somme des forces s’y exerçant s’annule) devaient considérer la vitesse de propagation de la lumière dans les zones vides comme un invariant. C’est la suggestion sur laquelle se bâtissent finalement les transformations dites de Lorentz+. Ces transformations constituent le squelette de la version restreinte de la théorie de la relativité.

 

Les insuffisances de la version restreinte de la théorie de la relativité

Cette version restreinte+ n’incluant pas les champs de gravitation, sa généralisation est vite devenue une nécessité intellectuelle. Curieusement, avec quelques petites années d’écart, deux approches théoriques basées sur deux outils mathématiques distincts aboutissent finalement aux mêmes équations fondamentales : celles de la relativité générale+.

 

Les deux chemins menant à la théorie de la relativité générale

La théorie de la relativité générale (A. Einstein) constitue à n’en pas douter l’aboutissement d’une progression réalisée au sein de l’école allemande en ce sens qu’elle appuie ses équations sur l’héritage de Gauss, Riemann et Christoffel. Les deux premiers permettent d’introduire la notion de courbure géométrique. La généralisation de la notion d’invariant à des espaces non-nécessairement euclidiens et de dimension quatre se trouvent dans les travaux du troisième. Pour la culture générale, ils ont été traduits en français par A. Cotton (voir référence dans le document mis à disposition sur la page de ce site intitulée : « Propagateurs »).

 

En France, E. Cartan considère la question en se basant sur d’autres outils et développe une tactique dans son ouvrage de 1922 qui mène aux mêmes résultats fondamentaux. Ses travaux reposent sur une généralisation de la méthode du trièdre mobile (le repère de Frenet+), sur l’approfondissement de la notion de rotation+ et sur une utilisation accrue des bi-vecteurs+, donc indirectement sur le calcul au sein des algèbres extérieures+.

 

La GTR2

Je développe pour le plaisir sur ce site une proposition (dite GTR2) qui s’inspire du calcul tensoriel+ et des acquis concernant les développements de Taylor+. Elle intègre les variations d’ordre deux des vecteurs d’une base canonique d’un espace vectoriel+ standard.

 

Dans l’approche relativiste habituelle (comprendre : versus Einstein) les effets d’ordre deux sont concentrés au sein du tenseur impulsion-énergie du champ de gravitation (Voir aussi plus généralement : les mathématiques de la théorie de la relativité générale+).

 

Au sein de la GTR2, les variations d’ordre deux sont traitées à l’aide du regard offert par l’analyse des produits tensoriels déformés : les variations des composantes de la métrique ne sont pas comparées avec un développement limité à l’ordre trois exclus mais avec les discriminants caractérisant les décompositions non triviales de produits tensoriels déformés.

 

Par ailleurs les déformations à l’ordre deux des vecteurs de base font apparaître un espace symplectique+ sous la forme d’un sous-ensemble non vide de composantes non nulles du tenseur de courbure de Riemann spécifique à la GTR2. En clair : l’approche fait apparaitre des objets mathématiques d’origine géométrique se comportant comme le ferait un champ électromagnétique+.

 

L’apparition de structures symplectiques dans un univers riemannien, ou plus exactement au contact d’espaces de ce type, devrait éveiller de vieilles problématiques mathématiques apparues à la fin des années soixante-dix. Les curieux peuvent retrouver les textes mathématiques en surfant sur la toile avec les mots clés : contact, riemannien, manifold.

 

Une analyse approfondie de la manière de procéder au sein de la GTR2 permet de comprendre que les composantes du tenseur de courbure de Riemann sont construites sur les projecteurs des variations des vecteurs de base et non pas sur les symboles de Christoffel. Elle permet aussi de découvrir le lien entre ces projecteurs et les travaux d’E. Cartan (1933) sur les métriques hessiennes (in extenso : générées par l’évolution des surfaces – voir pour débuter le concept de matrice Hessienne+).

 

© Thierry PERIAT, 7 mars 2019.

 

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