Retour vers la page « GTR2-Fondations ».

 

Analyse approfondie du raisonnement menant à proposer l’existence d’une structure symplectique

Dans ce document j‘entreprends une introspection systématique des fondations de la GTR2.

 

En particulier, je centre mon attention sur la validité de la prédiction de l’existence de champs électromagnétiques (EM) d’origine géométrique.

 

Je m’astreins à le faire en adoptant un point de vue mathématique. La démarche me force à approfondir la notion de développement en série (par exemple de Taylor) et à poser les éléments fondateurs de mon raisonnement de manière ordonnée. A y regarder de près, l’édifice repose sur deux équations :

           (H-1) Un développement en série des variations des vecteurs d’une base canonique d’un espace vectoriel générique ;

           (H-2) Une définition des composantes de la métrique à partir des produits scalaires des vecteurs de cette base canonique.

 

Il ressort des premiers instants de cette analyse que l’hypothèse (H-1) permet de déterminer un calcul particulier des variations des composantes de la métrique locale, lorsque cette métrique est définie très classiquement à l’aide de l’hypothèse (H-2) ; soit (i) la représentation figurée de ces variations.

 

La définition (i) est la brique de base de l’approche GTR-p (p désigne l’ordre auquel le développement limité réalisé au sein de l’hypothèse (H-1) est réalisé) et elle sert de référence pour dire ce qu’est « la bonne expression » des variations des composantes de la métrique.

 

Les difficultés techniques apparaissent du fait qu’il existe en réalité de multiples manières de fonder un calcul des variations des composantes d’une métrique. Selon que je fonde ce calcul sur :

(i)

(ii) l’emploi de la bonne vieille règle de Leibnitz,

(iii) une comparaison entre un état final et un état initial de la métrique ou

(iv) la mesure d’un écart à la trivialité d’un produit tensoriel (ou de Lie) déformé,

 

… j’obtiens toujours des polynomiales mais leurs coefficients diffèrent et, du point de vue du mathématicien, il est extrêmement difficile ou arbitraire de choisir une définition plutôt qu’une autre. Il est probable que les mesures physiques permettront d’orienter le choix.

 

La situation peut être un peu débroussaillée en remarquant que :

           Les coefficients de degré un sont les mêmes dans les définitions (ii) et (iii) de ces variations.

           Des champs EM d’origine géométrique apparaissent effectivement lorsque je confronte les définitions (i) et (ii), quelle que soit la métrique (symétrique ou non). Ce n’est plus le cas lorsque je compare les définitions (i) et (iii).

           Les coefficients de la définition (iv) représentent une catégorie complètement à part de l’interprétation de la définition (i). Ils offrent l’opportunité d’introduire des grandeurs physiques dans la discussion mathématique d’une manière que je crois nouvelle ; y compris

des représentations de bi-vecteurs, et je pense bien évidemment aux représentations habituelles des champs EM.

 

© Thierry PERIAT, 7 mars 2019.