Les méthodes mathématiques

 

1. Petit résumé de la démarche initiale. Après avoir redécouvert seul l’usage qui pouvait être fait des représentations du produit vectoriel classique (voir la page consacrée au vide de Maxwell), j’ai débuté un long travail mathématique d’analyse et d’extrapolation des premiers résultats.

 

Une méthode de décomposition intrinsèque des produits vectoriels a d’abord été proposée.

Elle constitue un morceau d’algèbre impressionnant (par sa taille).

Elle s’articule au départ autour d’un objectif simple : diviser l’image duale d’un produit vectoriel déformé en la caractérisant par une paire ([partie principale], partie résiduelle) dans M(3, C) x E(3, C) sans faire appel à d’autres ingrédients qu’une matrice déformante [A] de M(3, C) et un projectile de E(3, C) (voir la sémantique).

Le théorème initial démontre que le problème posé ne se dissocie pas de l’existence d’une polynomiale de degré deux écrite en fonction des composantes locales du projectile.

La partie principale de la division (j’utilise surtout le mot décomposition) peut être formalisée lorsque cette polynomiale est propre (elle possède un vecteur singulier).

Pour autant, la méthode ne dit rien sur la partie résiduelle de la décomposition.

 

Suite du point 2.

 

A vrai dire, cette intuition n’est pas de moi et il y a déjà fort longtemps que certaines solutions ne sont atteintes que par réitération d’algorithmes.

 

La méthode extrinsèque  part du principe que nos calculs s’effectuent dans un contexte, par exemple géométrique, et que celui-ci doit peu ou prou influencer les résultats des opérations effectuées, en particulier donc : les divisions aussi.

C’est ainsi que naît la méthode consistant à vouloir comparer (i) un scalaire associé avec une décomposition approximative -mais la plus exacte possible- d’un produit tensoriel déformé et (ii) un développement limité à l’ordre deux d’une polynomiale de degré deux.

Elle livre rapidement le formalisme générique des décompositions ; quand la comparaison est possible.

 

Là aussi, rien n’est parfait. Si l’annulation de l’erreur d’approximation sur une décomposition annule bien de facto son scalaire associé, l’inverse est faux.

Il faut donc toujours accompagner la réalisation de la méthode extrinsèque d’un test logique.

Enfin, un autre mystère surgit avec l’usage de la méthode extrinsèque. Pour un produit vectoriel déformé donné, elle ne fournit pas a priori la même partie principale que la méthode intrinsèque !

 

2. La découverte d’une autre méthodologie.

Devant cette insuffisance insupportable, je me suis senti obligé de découvrir une méthode plus complète.

 

Je ne sais comment l’idée a germé en mon esprit -sans doute à cause de réflexions sur la notion d’incertitude sur les mesures physiques (W. Heisenberg déjà)- mais j’ai fini par imaginer que le mathématicien devrait accepter, lui aussi, le principe que la recherche des solutions aux problèmes qu’il se pose ne livre que des réponses approximatives.

 

 

 

Voir suite en haut à droite…

3. La confrontation des méthodes.

Bien qu’ayant partiellement résolu le problème laissé en suspens par la méthode intrinsèque, je n’étais pas encore au bout de mes peines.

Il m’a fallu ensuite confronter les deux approches, autant que faire se peut.

 

4. La limite euclidienne.

Un autre problème trainait également depuis la découverte du formalisme des parties principales intrinsèques.

Il n’avait pas de lien apparent avec celui, attendu, pour le cas où la géométrie serait euclidienne.

L’énigme a été levée récemment dans une étude faisant appel aux spineurs de E. Cartan pour les espaces de dimension trois.

 

ISBN/EAN

Sujet traité

 

Exposé des rudiments en dimension un (D = 1)

103-5

Proposition de résolution dans les espaces de dimension deux (D = 2).

036-6

Méthode intrinsèque de décomposition des produits vectoriels déformés (D = 3)

026-7

Méthode extrinsèque de décomposition des produits tensoriels déformés dans les espaces E(D > 1, K)

110-3

Confrontation des méthodes et généralisation aux espaces de dimension égale ou supérieurs à quatre.

073-1

Bi-spineurs de Cartan (Elie)

© Thierry PERIAT, 08 avril 2019.