Chronologie des faits

 

La découverte des produits vectoriels, de leurs représentations duales et des décompositions triviales

Je l’ai sans aucun doute déjà dit ailleurs, mais peu importe. Cet intérêt pour l’étude des produits tensoriels et de Lie déformés ne date pas d’hier. Mais, chronologiquement, comment les choses se sont-elles déroulées pour moi ? A la suite de la rédaction du document démontrant, dans les espaces vectoriels classiques de dimension trois, que l’introduction des représentations duales des produits vectoriels et de leurs décompositions triviales suffisait à démontrer l’existence de courants de forces dans le vide de Maxwell, je me suis attelé à la rédaction d’un travail visant à généraliser, dans ces mêmes espaces, la notion de produit vectoriel et celle de leurs décompositions.

 

Les produits vectoriels déformés, leurs décompositions non-triviales et la méthode intrinsèque

Ainsi, dès cet instant (vers 2003), les produits vectoriels pouvaient être déformés et leurs décompositions pouvaient éventuellement être non-triviales. Je me suis alors fixé pour objectif de tenter la résolution de ce que je venais de baptiser « la question (E) » en ne faisant appel qu’aux ingrédients présents dans l’écriture de la relation initiale et générique suivante :

 

|[projectile, cible](cube déformant) > = [partie principale de la décomposition]. |cible > + |partie résiduelle >

 

Dans laquelle les inconnues sont les arguments de la paire ([Partie principale de la décomposition], partie résiduelle). Plus précisément, ceci voulait dire que ces inconnues devaient être découvertes en ne connaissant que le projectile, la cible et le cube déformant le produit vectoriel classique. Ces trois acteurs sont ce que je nomme désormais les ingrédients intrinsèques à la question (E). La méthode utilisée pour parvenir au résultat est dite intrinsèque. Le document (ISBN/EAN… 036-6) est le résultat de ces extrapolations. Chacun constatera qu’il ne livre que l’argument matriciel de la décomposition non-triviale. La situation est longtemps restée en l’état.

 

Les produits tensoriels déformés, leurs décompositions non-triviales et la méthode extrinsèque

Il m’a fallu un temps non négligeable, beaucoup d’imagination et un peu de chance pour enfin mettre au point tentant de palier aux insuffisances de la méthode intrinsèque : elle ne donne aucune indication sur la partie résiduelle, elle ne concerne que la dimension trois, etc.

Mes lectures passées m’ont alors guidé vers trois idées. La première, empruntée à la physique, me rappelait que, dans la nature, les mesures sont entachées d’imprécisions et que l’énoncé des lois physiques s’en trouve fort probablement être lui aussi empreint d’une certaine dose d’approximation. Ainsi : « Si elle existait vraiment, pourquoi une décomposition non-triviale devrait-elle forcément être réalisée de manière exacte ? » Cette question et le doute sur la réponse à y apporter m’ont encouragé à introduire la notion d’écart à la trivialité (signant l’existence d’une décomposition non-triviale) :

 

[Ecart à la trivialité] = [Décomposition triviale] – [Partie principale]

 

et d’un écart à la réalisation d’une décomposition triviale :

 

|écart à la réalisation d’une décomposition triviale >

=

|[projectile, cible](cube déformant) > – {[partie principale de la décomposition]. |cible > + |partie résiduelle >}

 

La deuxième idée s’est imposée spontanément dés le moment où j’ai voulu introduire une mesure de l’écart à la réalisation de cet écart à la trivialité. Puisque ce dernier était un vecteur et que je voulais disposer d’un scalaire, n’y avait-il pas obligation mentale de faire appel à la notion de produit scalaire. C’est l’endroit où il devenait obligatoire d’introduire des ingrédients extrinsèques à l’énoncé de la question (E). En effet, s’il était encore possible de concevoir multiplier l’écart à la trivialité soit par le projectile, soit par la cible, sauf à restreindre drastiquement la discussion, il devenait impératif d’incorporer une forme bilinéaire dans le propos. Soit [B] la représentation matricielle de cette forme. C’est elle qui définirait le produit scalaire local. C’est elle qui serait l’élément extrinsèque du discours. Sauf, bien entendu, à choisir les composantes de cette forme bilinéaire au sein des composantes du cube déformant (une hypothèse de travail que je n’ai pas encore exploité à ce jour) :

 

Scalaire associé à la cible = < cible, écart à la réalisation d’une décomposition triviale >[B]

 

La troisième idée, importée directement des mathématiques, est apparue dés le moment où je me suis mis à calculer explicitement les scalaires associés à cet écart à la réalisation à la trivialité. En effet, à chaque fois, j’obtenais une polynomiale de degré deux. Et comme il s’agissait là d’une expression sensée décrire une approximation, mes pensées se sont spontanément tournées vers les développements de Taylor.

 

La méthode extrinsèque était née. Les calculs ont très vite récompensé les long mois de cogitations cérébrales puisque la méthode livrait enfin les deux arguments d’une éventuelle décomposition non-triviale, celle-ci eût-elle été approximative, pour n’importe quel produit déformé initial dont elle serait l’éclatement ; le tout. Quelle que soit la dimension de l’espace vectoriel dans lequel la discussion prendrait place. C’était une grande victoire.

 

Les insuffisances de la méthode extrinsèque

Pour autant, ce sublime moment de bonheur intellectuel passé, j’ai vite compris les insuffisances de cette nouvelle trouvaille. Et il y en avait au moins deux de taille. La première : « Pourquoi, même dans les espaces de dimension trois, les parties principales obtenues par la méthode intrinsèque semblaient-elles ne pas coïncider avec les parties principales obtenues pour le même produit déformé initial par la méthode extrinsèque ? » La seconde était beaucoup plus grave à mes yeux parce qu’elle tenait au raisonnement tenu pour obtenir ces décompositions. En effet, annuler un produit scalaire dans un environnement donné par la forme bilinéaire dont j’ai parlé plus haut peut s’obtenir dans trois circonstances au moins : soit un des deux arguments est nul (deux circonstances), soit ils sont « orthogonaux ». Ainsi, il m’a fallu très vite chercher les moyens ou les circonstances capables de réduire l’inconsistance logique de la méthode.

 

La confrontation forcée entre les deux méthodes en dimension trois et les coins encore obscurs de la discussion

C’est le moment de ma progression où je me suis dit qu’en forçant la coïncidence entre les deux résultats obtenus dans les espaces de dimension trois, je finirai bien par trouver les bribes de solutions de mon problème. A ma très grande surprise, la confrontation devenait cohérente lorsque trois relations étaient satisfaites. L’espoir renaissait.

 

Mais, à ce stade, de nombreux doutes et coins obscurs subsistaient encore. La méthode intrinsèque, c’était certain, ne concernait que des produits vectoriels déformés. Sa généralisation ne pourrait donc concerner qu’une extension de ce concept à des espaces de dimension supérieure à trois. De quels outils la littérature nous faisait-elle le cadeau ? J’ai relu mon vieux Delachet sur le calcul tensoriel et acheté deux trois ouvrages récents et un peu plus pointus sur le sujet. Je me suis convaincu de la nécessité d’intégrer la notion de produit extérieur et de Lie. C’est ce qui m’a permis de stabiliser la définition des concepts de produits tensoriels déformés (PTD), extérieurs déformés et de Lie déformés (PLD).

 

La méthode extrinsèque, quand-à elle, concernait les PTD. Il me fallait donc étudier en détails les moyens de passer d’un PTD à un PLD équivalent, en précisant ce que j’entendais par « équivalent ». Des bribes de ce travail de défrichage ont par exemple été faites dans le document ISBN/EAN …112-7. La loi de Lorentz-Einstein y sert de fil rouge.

 

L’étude en dimension deux

Les choses évoluent lentement ; en mathématiques aussi. Je n’ai exploré de manière assez systématique la question (E) dans les espaces vectoriels de dimension deux que très tardivement (ISBN/EAN… 103-5). En dehors du plaisir d’avoir découvert les solutions et quelques curiosités pouvant s’interpréter en termes de sociologie, ce travail m’a mis sur la route d’un traitement vraiment généraliste de la correspondance pouvant exister entre le formalisme extrinsèque et le formalisme intrinsèque des décompositions non-triviales… lorsque celles-ci existent.

 

Généralisation des considérations et premier énoncé des briques essentielles de la  

Le document ISBN/EAN… 110-3 (voir ci-dessous) reprend les éléments laissés en suspens au cours des explorations précédentes. Il se fixe comme objectif de comprendre le hiatus apparent entre les formalismes obtenus par l’une et l’autre méthode.

 

Une exploration approfondie de la notion de transcription entre un PTD et son PLD équivalent y est menée. Elle précise les démarches antérieures commencées dans ISBN/EAN…112-7 et montre que la correction d’une imprécision dans l’énoncé du PLD équivalent ne modifie pas les relations de transcription déjà obtenues. Elle démontre surtout que la question de la transcription n’est pas vraiment centrale dans la compréhension de l’interconnexion entre les formalismes des décompositions.

 

L’étude insiste au contraire sur l’anticommutativité naturelle des PLD et se sert de cette propriété pour scruter les liens entre les décompositions d’un PLD donné et de son opposé. Elle les traite d’ailleurs comme un couple nécessairement lié. Elle met finalement en évidence le rôle majeur (i) du degré des polynomiales engagées dans le traitement de la question (E) et celui (ii) de l’existence de vecteurs singuliers dans cette discussion. En bref, la question (E) ne semble avoir de solutions non-triviales que si les polynomiales impliquées sont propres (synonyme : elles ont un vecteur singulier).

 

La transition entre un formalisme de style extrinsèque et celui, finalement équivalent, de style intrinsèque peut toujours s’envisager :

           (i) s’il existe une sorte de relation de continuité entre le projectile et le vecteur singulier de la polynomiale de degré au moins égal à deux à laquelle il doit appartenir,

           (ii) si ce vecteur singulier est au signe moins près celui du scalaire associé avec la cible pour une réalisation approximative de la décomposition et

           (iii) si la Hessienne classique relativement au projectile de l’écart à la trivialité vaut moins une fois la Hessienne classique relativement à la cible du scalaire associé à cette cible.

 

Chemin faisant, j’explore une nouvelle notion dite « hypothèse de complétude » sur laquelle j’espère pouvoir revenir dans un proche avenir. En particulier parce qu’elle ouvre des chemins mathématiques intéressants et originaux.

 

Elle met aussi et enfin en exergue les imprécisions essentielles de la méthode extrinsèque qui, si elles n’empêchent pas de s’en servir, obligent les utilisateurs de cet outil à toujours bien définir le contexte dans lequel ils le font.

 

Tous ces résultats et un peu plus sont exposés dans le document ci-dessous

ISBN 978-2-36923-110-3/EAN 9782369231103

 

© Thierry PERIAT, 6 mars 2019.