Retour vers le traitement de la question en dimension deux.

 

Partie principale des décompositions intrinsèques des produits vectoriels déformés

Dans les espaces de dimension trois, les produits vectoriels déformés du type générique [a, ][A] acceptant une décomposition non-triviale ([P], z) dans M(3, C) x E(3, C) sont automatiquement associés à une polynomiale de degré deux écrite en fonction des trois composantes du projectile, a (voir dans le document : le théorème initial).

Pour qu’une décomposition non-triviale existe réellement, il suffit que cette polynomiale soit propre. Ce qui veut dire que la Hessienne [S0] de cette polynomiale est inversible et que celle-ci possède un vecteur singulier s. Dans ce cas, la partie principale [P] de la décomposition non-triviale d’un produit vectoriel déformé s’écrit génériquement :

[P] = {[A]t. [J]}. {½. |A|. [S0] + [J]F(s)} avec |A| = ±1

Où :

           la matrice carrée de M(3, C), [A], caractérise la déformation apportée au produit vectoriel classique qui sinon est conventionnellement défini par la matrice [J].

           on peut considérer que la matrice [J] est une représentation d’une racine sixième de l’unité dans l’espace des nombres complexes.

           la matrice carrée (3-3) [J]F(s) est la partie principale triviale de la décomposition de n’importe quel produit vectoriel classique du type :

|s Ù > = [J]F(s). |>.

Ce résultat est le fruit d’une longue démonstration consignée initialement dans le document ISBN 978-2-36923-036-6, v1 du 16 octobre 2014. Il a été traduit en anglais où il est visible dans le document ISBN 978-2-36923-084-7 du 28 juin 2016. Il a également été incorporé au document francophone ISBN 978-2-36923-063-2 du 14 avril 2015 le confrontant avec ce que la physique dit au sujet des électrons de Bloch et finalement à la version anglophone de ce dernier.

Ce résultat est longtemps resté orphelin à cause :

           de la taille de la démonstration,

           de son apparence illogique (En effet, le projectile impliqué dans le produit vectoriel déformé n’y apparait que très indirectement alors qu’une décomposition triviale livre simplement [A]F(a). |>)

           et du peu d’intérêt porté par la communauté scientifique à cette démarche algébrique.

Il trouve cependant aujourd’hui tout son relief dans une confrontation avec la méthode extrinsèque qui peut être utilisée pour découvrir les décompositions non-triviales de ces mêmes produits vectoriels déformés.

 

© Thierry PERIAT, 06 mars 2019.