Etude approfondie de la loi de Lorentz-Einstein sous l’angle des produits tensoriels déformés

Le document ci-dessous : 112-7, v4-4, lien externe https, en français – 34 pages.

 

Mots clés avec liens externes vers Wikipédia-France 

Classe d’équivalence, spineur de Cartan, produits et algèbres de Lie, méthodes de décomposition, tétrades, connexions.

 

Résumé

Dans la première partie, j’introduis la notion de classe d’équivalence pour les décompositions a priori non-triviales d’un produit tensoriel déformé, en l’occurrence le terme gravitationnel apparu dans la loi de Lorentz-Einstein. Je défini la contrainte d’appartenance à cette classe d’équivalence et j’exprime ensuite cette contrainte pour le cas des métriques ne variant pas avec la (quadri-)vitesse des phénomènes physiques étudiés. La recherche du formalisme générique des résidus admissibles est commencée.

 

Il s’avère qu’ils ne peuvent être colinéaires à la vitesse et qu’une partie au moins d’entre eux sont vraisemblablement des résidus accidentellement nuls mais instables. Ce premier constat semble cohérent avec l’état d’esprit de la méthode extrinsèque. En effet, celle-ci est par essence une méthode approximative, donc ne livrant que des résultats approchés.

 

Enfin, il s’avère également que si la vitesse peut se laisser interpréter comme un spineur au sens donné à ce mot par E. Cartan, alors l’instabilité de ces résidus peut être représentée par des matrices au formalisme bien connu. Bien qu’une contrainte sur les Hessiennes cinétiques de leurs composantes ait été découverte, il n’a pas encore été possible de donner un visage au formalisme générique des résidus admissibles. Cette première partie me laisse avec un certain nombre de questions dont une semble revenir de façon récurrente.

 

La deuxième partie commence l’étude des liens entre méthode extrinsèque et méthode intrinsèque en dimension quatre*.

 

La troisième partie cherche à transcrire la loi de Lorentz-Einstein sous forme de produit de Lie déformé et décomposé de manière non triviale. L’approche conduit vers la discussion passionnante consistant à faire correspondre les descriptions de la théorie de la relativité générale, soit dans le langage de la connexion de Levi-Civita, soit dans celui des tétrades. J’y redémontre que les champs EM peuvent se concevoir comme des objets mathématiques connectés. En ce sens, l’approche rejoint celle consistant à interpréter la même loi de Lorentz-Einstein comme un opérateur différentiel d’ordre deux.

 

La quatrième partie examine si la loi de Lorentz-Einstein peut s’écrire sous la forme d’un opérateur différentiel d’ordre deux.

 

Remarque importante

*Cette exploration est désormais complétée par un document du 16 décembre 2018 comparant les décompositions intrinsèques et intrinsèques : « Décompositions des produits de Lie déformés (110-3, v3)» et par l’introduction d’une réflexion sur la signification physique de ces objets mathématiques sur la page intitulée : « Propagateurs ».

 

© Thierry PERIAT, 05 février 2019.