Corollaire des travaux d’E. B. Christoffel et de l’usage de la méthode extrinsèque

(Contribution à la théorie de Yang-Mills – Problème du Millénium)

Lien externe anglophone

 

Je viens de redécouvrir, presque incidemment et comme sous-produit de l’étude visant à démontrer le bien-fondé de la GTR2 (voir la page Validation de la GTR2 sur ce site), le travail fondamental de E. B. Christoffel (1869 ; en allemand) sur la préservation des formes bilinéaires quadratiques. Les lecteurs francophones que cette thématique intéresse peuvent en voir une traduction dans les travaux d’Emile Cotton [01].

 

Cette redécouverte tombe à pic, au beau milieu de mes investigations sur les méthodes permettant de décomposer non trivialement les produits tensoriels (respectivement : extérieurs et de Lie) déformés. En effet, dans le cadre de l’usage de la méthode extrinsèque, le scalaire associé avec une décomposition non-triviale, est forcément une forme polynomiale de degré deux :

 

S = <b, |ÄA(a, b)> – {[P]. |b> + |z>}>[B]

 

Ainsi, en imposant la disparition des termes de degré un au sein de cette forme polynomiale :

 

<b, z>[B] = 0

 

Je retrouve systématiquement une forme quadratique bilinéaire (dépendant des composantes de la cible b) et je peux envisager d’étudier les conditions de sa préservation à l’aide du travail de Christoffel :

 

S = <b, |ÄA(a, b)> – [P]. |b>>[B] = invariant

 

La forme bilinéaire préservée est donc :

 

[w] = {AF(a) – [P]}. [B]

 

Cette manœuvre peut paraitre spécieuse (tirée par les cheveux) et donc dépourvue d’intérêt mais elle trouve un terrain d’application tout à fait remarquable avec la version covariante de Lorentz (dite aussi de Lorentz- Einstein). Il vient alors en particulier :

 

<u, du/ds>[B] = 0

S = <u, |ÄG(2)(p, u)> – {[F]. |u> – |>}>[B]

[w] = {G(2)F(p) – [F]}. [B]

 

Il y a jusque-là une grande liberté de choix pour la forme [B]. Pour autant il est judicieux de constater qu’en posant [B] = k. [G] = invariant le long de l’abscisse curviligne s, et où [G] désigne la métrique locale de l’espace de dimension quatre des discussions, alors la première contrainte coïncide simplement avec la contrainte (que je nommerai) relativiste ; in extenso : avec la préservation de l’élément de longueur. Ainsi ces quelques briques suffisent à retrouver les solutions de la théorie de la relativité générale.

 

Mais que nous apprennent-elles d’autre ? Le scalaire S mesure l’erreur de réalisation de la loi de Lorentz covariante ; où, en d’autres termes : l’impact de toutes les autres forces locales, hormis la loi de Lorentz Einstein. Si je considère les unités physiques de ce scalaire, il est le produit d’une célérité par une force. Il est donc formellement équivalent à une distance multipliée par une force et divisé par un temps. En le multipliant par un temps, j’ai donc à faire à une énergie : elle pourrait être une quantité préservée. Mais je ne pourrais alors faire usage des travaux de Christoffel car je ne manipulerais pas une forme bilinéaire quadratique.

 

Si, en revanche, je multiplie le scalaire S par le carré d’un temps, j’obtiens une énergie multipliée par un temps et, non seulement cette quantité évoque aussitôt la notion d’incertitude (principe d’incertitude d’Heisenberg), mais je peux prétendre faire usage des travaux de Christoffel sur la forme bilinéaire ci-dessous : 

 

dW. dt = <dx, |ÄG(2)(p, dx)> – {[F]. |dx >>[B]

 <dx, du/ds>[B] = 0

[w] = {G(2)F(p) – [F]}. [B]

 

Ce triplet de relations est fondamental en ce sens qu’il décrit une sorte d’interconnexion entre la relativité générale et la mécanique quantique avec un minimum d’outils.

           Si j’examine la première relation, elle doit satisfaire le principe d’incertitude d’Heisenberg pour la paire (énergie, temps). Ce qui veut forcément dire qu’une valeur minimale lui est imposée. Je peux faire usage des travaux de Christoffel pour étudier les conditions préservant ce minimum (je l’appellerai le minimum quantique).

           La seconde relation peut être divisée par un lapse de temps dt non nul et redonner les solutions de la relativité générale à condition de continuer à imposer [B] = k. {G] = invariant le long de l’abscisse curviligne s ;

           La troisième précise en fait la forme préservée. Par exemple, avec l’aide de la méthode de décomposition extrinsèque, je peux obtenir :

 

[F] ~ G(2)F(p) + [G]-1. [Hess P2(0)]

 

Ce qui fournit un nouveau visage à cette troisième relation :

 

[w] ~ [G]-1. [Hess P2(0)]. {G]

 

Ceci démontre le plus simplement du monde que la forme bilinéaire [w] obéit approximativement à une relation de jauge en dimension quatre. Cette réflexion peut être poursuivie un cran plus loin.

 

© Thierry PERIAT, 05 février 2019.

 

Bibliographie

[01] Cotton (E.). – Sur les variétés à trois dimensions, Ann. Fac. Sc. Toulouse, t. 1, 1899, p. 385-438. | Article (lien externe NUMDAM ; travaux de l’Université de Toulouse).