Notions élémentaires sur les produits tensoriels déformés

 

Définition

Même dans un espace vectoriel (* lien externe Wikipédia-France) de dimension un, noté conventionnellement E(1, K) et rapporté à sa base canonique W : {e}, il est -en principe et a priori- possible de tenter de définir une sorte de produit tensoriel par :

 

" a, b Î E(1, K) : a Ä b = a. b. e Ä e

 

Mais on remarque immédiatement l’absence d’information sur le terme e Ä e. De sorte qu’en général, cette opération n’est pas nécessairement interne.

 

Concept d’intériorité

Pour que le produit tensoriel soit une opération binaire (= impliquant deux éléments, synonyme : deux arguments) et interne* sur {E(1, K), Ä} il suffit qu’il y définisse une involution se traduisant par exemple par :

 

e Ä e = e

 

Le produit tensoriel de l’unique vecteur de la base canonique W de E(1, K) par lui-même :

           redonne alors ce vecteur de base et

           se comporte comme une sorte de projection.

 

Plus généralement il faut qu’il existe au moins un élément m de K tel que :

 

e Ä e = m. e

 

Et dans ce cas :

 

" a, b Î E(1, K) : a Ä b = a. b. m. e

 

 

Concept de déformation

La théorie de la question (E) va un cran plus loin en acceptant de déformer les produits tensoriels. Sur un espace de dimension un, ceci revient à penser qu’il existe un élément A de K tel que :

 

" a, b Î E(1, K), $ A Î K : a ÄA b = ÄA(a, b) = A. a. b. ÄA(e, e)

 

Pour qu’un produit tensoriel déformé de la manière qui vient d’être proposé soit interne sur E(1, K), il faut et suffit qu’il existe au moins un élément m de K tel que :

 

ÄA(e, e) = m. e

 

Pour que ce produit tensoriel déformé ÄA soit interne sur[1] {E(1, K), ÄA}, il faut que m = 1 ; dans ce cas précis :

 

" a, b Î E(1, K), $ A Î K : a ÄA b = ÄA(a, b) = A. a. b. e

 

De sorte qu’un produit tensoriel a priori classique mais tel que le vecteur de la base canonique satisferait à la relation générique :

 

e Ä e = A. e

 

définirait bien une opération interne sur {E(1, K), Ä} et permettrait d’écrire :

 

" a, b Î E(1, K) : a Ä b = a. b. A. e

 

Par conséquent, chaque fois qu’il sera possible d’écrire l’égalité :

 

A. a. b = a. b. A,

 

ce produit tensoriel a priori classique et définissant une opération interne sur {E(1, K), Ä} sera en réalité équivalent à un produit tensoriel déformé par A : ÄA.

 

Le rôle naturel de la structure de K

C’est l’endroit où réapparait spontanément la question des propriétés et de la nature de l’ensemble auquel appartient l’élément A (qui -par simplicité- avait d’abord été éludée). En effet, l’observation de la relation précédente montre que A pourrait appartenir à n’importe quel ensemble X (sous-entendu : pas forcément confondu avec K) dont les éléments commutent avec ceux de K.

 

La question du crochet

Autre sujet ; avec l’état d’esprit utilisé dans [A. Delachet : Le calcul tensoriel] pour construire les algèbres extérieures*, il est pertinent de calculer :

 

" a, b Î E(1, K) : a Ä b – b Ä a = (a. b – b. a). e Ä e

 

Et de découvrir à cette occasion l’importance de la commutativité. En effet :

           si K est équipé d’une multiplication commutative, le produit extérieur de deux vecteurs de E(1, K) est toujours nul ;

           en revanche, si la multiplication définie sur K est non-commutative (exemple type : K = H, l’ensemble des quaternions), alors le produit extérieur de deux vecteurs de E(1, K) n’est pas nécessairement nul (Il l’est uniquement sur ce qu’on appelle le centre de cet espace : Z(E(1, K)) ; *voir définition sur Wikipédia-France.

 

Lorsque le produit tensoriel est déformé, le calcul du produit extérieur va donc cette fois-ci fournir :

 

" a, b Î E(1, K) : ÄA(a, b) ÄA(b, a) = (A. a. b – A. b. a). e Ä e

 

Et montrer à quel point la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition définies sur (K, +, .) a de l’importance pour poursuivre les calculs. Quand cette distributivité existe, alors :

 

" a, b Î E(1, K) : ÄA(a, b) ÄA(b, a) = A. (a. b – b. a). e Ä e

 

Une fois encore, la commutativité* de la multiplication joue un rôle essentiel évident.

 

Pour aller plus loin

– L’énoncé et la résolution de la question (E) dans les espaces de dimension deux à l’aide de la méthode extrinsèque de décomposition est désormais accessible sur ce site. Il vous suffit de découvrir le document immatriculé EAN 9782369231035 sur la page dédiée au sujet.

 

– L’énoncé et la résolution de la question (E) dans les espaces de dimension trois à l’aide de la méthode intrinsèque de décomposition est désormais accessible sur ce site. Il vous suffit de découvrir le document immatriculé EAN 9782369230366 depuis la page exposant cette méthode.

 

– L’énoncé et la résolution de la question (E) dans les espaces de dimension quatre et plus au travers d’une analyse systématique et approfondie de la méthode extrinsèque et de sa confrontation avec les résultats de la méthode intrinsèque fait l’objet d’un document à part, EAN 9782369231103 sur la page dédiée.

 

© Thierry PERIAT, 09 janvier 2019.



[1] Attention aux détails de l‘énoncé littéraire du problème mathématique de l’intériorité. Un produit tensoriel déformé par A et tel que le vecteur de la base à laquelle E(1, K) est rapporté satisfait e Ä e = k. e va fournir :

" a, b Î E(1, K), $ A Î K : a ÄA b = ÄA(a, b) = A. a. b. k. e

Il définit bien de facto une opération interne sur E(1, K) si A, a, b et k sont élément de K et que ce dernier est un corps commutatif. Dans ces mêmes conditions, il vient aussi :

" a, b Î E(1, K), $ A Î K : a ÄA b = ÄA(a, b) = A. k. a. b. e

Ce produit tensoriel n’est cependant interne ni sur {E(1, K), ÄA}, ni sur {E(1, K), Äk}.