C*-algèbres et espace-temps vide : quel lien ?

Les amoureux des mathématiques savent l’importance de la notion d’algèbre ; et encore plus peut-être celle de C*-algèbre (* = lien externe Wikipédia-France). Au-delà de la nécessité de se forger une idée sur l’ensemble des sujets mathématiques, quel peut donc bien être l’intérêt de se pencher sur cette notion -un tantinet sophistiquée- au sein d’une démarche visant à approfondir nos connaissances sur les espaces vides ? Le lien, je l’avoue, n’est pas évident ; surtout s’il n’est pas expliqué.

 

L’omniprésence statistique des espace-temps vides

Il suffit de regarder un ciel étoilé par une belle nuit d’été sans nuage pour réaliser notre petitesse et, opposée à celle-ci, l’immensité sidérale, l’incroyable proportion de volumes vides et la kyrielle d’astres plus ou moins lumineux ponctuant le néant cosmique. Pour faire bref : si le volume quadridimensionnel de l’espace-temps est mentalement découpé en volumes infinitésimaux, il y a bien plus de volumes ne contenant pas de matière astrale que de volumes en contenant. C’est ce qui pourrait à juste titre être baptisé : l’omniprésence statistique du vide. Les plus perspicaces d’entre nous ferons d’ailleurs la remarque que cette disproportion se constate jusqu’aux échelles les plus petites du monde physique ; c’est-à-dire jusque et y compris au sein des molécules, des atomes et même de certaines particules.

 

Comment arpenter les volumes vides ?

Ceci étant dit, depuis les travaux fondateurs de la théorie de la relativité, et en réalité dès l’énoncé de sa version restreinte (voir par exemple [01]) fondée sur l’analyse des conclusions négatives des expériences de Morley et Michelson*, il a été conclu que la seule manière d’arpenter ces immenses volumes vides de manière classique et rationnelle consistait à mesurer les distances séparant les volumes occupés par de la matière. Une fois encore, pour résumer et pour faire en sorte que la compréhension des conclusions de ces expériences ne soit pas entachée de quiproquos : il n’est pas possible de mesurer une distance entre deux points mathématiques fictifs positionnés arbitrairement dans les volumes dépourvus de matière.

 

Pour autant, et ce n’est pas le moindre des paradoxes laissés en héritage par la version générale de la théorie de la relativité, ces volumes -vides ou non- possèdent une géométrie déformable. La mise en évidence récente de l’effet Thirring-Lense* et la détection d’ondes gravitationnelles* semblent corroborer cette vision théorique vieille d’un siècle.

 

Par honnêteté intellectuelle, je noterai cependant que quelques forums et quelques écoles discutent encore âprement, ici ou là, des interprétations alternatives des données recueillies par Gravity Probe B (ils remettent en cause la validité même des calculs proposés par H. Thirring* et J. Lense*) et le crédit qui peut être apporté aux détections faites par LIGO, LISA, etc. Les liens exacts entre le magnétisme et la gravitation sont loin d’être totalement élucidés et ils ne font pas encore l’unanimité au sein des communautés scientifiques.

 

La loi de Lorentz-Einstein et son terme gravitationnel

Dans le cadre encore mouvant mais largement accepté de la théorie de la relativité générale, le mouvement des particules électriquement chargées est très souvent décrit en partant de la représentation covariante de la loi dite de Lorentz. La version relativiste de la densité de force de Lorentz se distingue habituellement de sa mouture classique (pour celle-ci : voir exposé* et article*) par l’apparition de ce que je nomme le « terme gravitationnel »  (ce terme apparaît par exemple dans un ouvrage du professeur A. Lichnerowicz daté de 1955 [02 ; § 33, p. 68, (33-1)]) ; plus précisément par :

 

ÄG(2)(u, u)

De toute évidence, rien ne s’oppose à l’interpréter comme un produit tensoriel déformé par le cube des symboles de Christoffel de la seconde espèce, symboliquement dénoté G(2), et agissant sur le vecteur quadridimensionnel u.

 

La nullité, soit de la vitesse u, soit du cube de Christoffel, annule obligatoirement ce terme et cette double nullité correspond bien à la manière dont les situations classiques sont habituellement perçues et décrites.

 

Inversement, pour le mathématicien, la nullité de ce terme gravitationnel ne correspond pas systématiquement aux situations classiques et à un énoncé standard de la force de Lorentz. Voilà au moins une des raisons pour lesquelles il semble pertinent d’étudier la structure mathématique de l’espace {E(4, R), ÄG(2)} et -plus généralement- les espaces {E(D, K), ÄA}, où A représente n’importe quel cube de nombres choisis arbitrairement dans K et que la dimension de l’espace vectoriel des discussions est D.

 

Les doutes sur la validité de la loi de Lorentz-Einstein

Pour la complétude de cette introduction, outre les doutes déjà formulés au paragraphe précédent,  il faut noter les critiques récentes formulées au sujet du formalisme habituel de la loi de Lorentz-Einstein (celui apparu par exemple dans [02 ; § 33, p. 68, (33-1)]) :

 

m. |accélération + ÄG(2)(u, u)> = q. [Fla]. |u >

Les lecteurs intéressés auront par exemple intérêt à lire l’excellente étude [03] et à parcourir la très nombreuse littérature en ligne s’attachant à tenter de décrire les relations compliquées entre magnétisme et gravitation.

 

Ainsi, l’étude que je propose sur ce site et qui commence avec le document ci-dessous n’a pas de caractère absolu et elle devrait essentiellement être perçue comme une invitation à aller plus loin dans l’analyse de ces relations ; à suivre donc…

 

Les résultats de mon exploration

Pour faire très court : les situations correspondant à une annulation du terme gravitationnel lorsque les ingrédients le constituant ne sont pas tous nuls sont aussi celles correspondant au fait que, pour un mathématicien, {E(4, R), ÄG(2)} est munie d’une structure de C*-algèbre. Par ailleurs, cette C*-algèbre exhibe un lien bien étrange avec le groupe cyclique C6 qui sera retrouvé dans l’exploration suivante intitulée : le vide instable de Lamb et Rutherford et qui apparaît déjà ostensiblement au travers de la matrice [J] dans l’exposé de la méthode intrinsèque de décomposition des produits vectoriels déformés de E(3, C).

 

© Thierry PERIAT, 10 janvier 2019.

 

Bibliographie indicative (ces ouvrages peuvent être trouvés grâce à une recherche en ligne) :

[01] Lennuier R., Gal P. Y. et Perrin D. : Mécanique des particules, collection U, série physique, © A. Colin, Paris, 1970.

[02] Lichnerowicz A. : Les théories de l’électromagnétisme et de la gravitation, éditions Masson and Co, 1955 ; actuellement réédité par les éditions Jacques Gabay.

[03] Poisson E., Pound A. and Vega I.: The motion of point particles in curved spacetime; arXiv:1102.0529v3, 26 September 2011 (Major update of Living Reviews article, with final revision).